Claudio Abbado ha debuttato nel 1960 al Teatro alla Scala di Milano, di cui è stato direttore musicale dal 1968 al 1986. Dal 1986 al 1991 è stato direttore musicale della Staatsoper di Vienna e Generalmusikdirektor della Città di Vienna dal 1987. Nel 1988 ha fondato il Festival Wien Modern, manifestazione iniziata come festival annuale di musica contemporanea, poi sviluppatasi fino a includere tutti i diversi aspetti dell'arte contemporanea. Dal 1994 è direttore artistico del Festival di Pasqua di Salisburgo.
Claudio Abbado ha diretto la Berliner Philharmonisches Orchester per la prima volta nel 1966. Nel 1989 l'Orchestra lo ha scelto come direttore stabile e direttore artistico. Da allora la musica del Novecento viene inserita regolarmente nella programmazione dei concerti a fianco del repertorio classico e romantico. Ogni anno viene scelto un tema particolare attorno a cui ruota il lavoro dell'orchestra: la musica ispirata alla poesia di Hölderlin, il mito del "Faust", la tragedia greca, l'opera di Shakespeare.
Claudio Abbado ha sempre sostenuto i giovani talenti. Nel 1978 ha fondato la European Community Youth Orchestra, nel 1981 la Chamber Orchestra of Europe e nel 1986 la Gustav Mahler Jugendorchester dalla quale si è costituita nel 1988 la Mahler Chamber Orchestra, nuova formazione residente a Ferrara. Nel 1992 ha dato vita a Berlino, con Natalia Gutman, alle Berliner Begegnungen, appuntamento durante il quale musicisti di lunga esperienza lavorano con giovani compositori. Dal 1994, nel corso del Festival di Pasqua di Salisburgo, vengono assegnati premi per la composizione, le arti figurative e la letteratura.
Fra le incisioni discografiche di particolare rilievo realizzate da Claudio Abbado ricordiamo le integrali delle opere di Beethoven, Mahler, Mendelssohn, Schubert, Ravel e Cajkovskij, Prokof'ev, Dvorák, Il viaggio a Reims di Rossini e Boris Godunov di Musorgskij.
Nel corso della sua prestigiosa carriera Claudio Abbado ha ricevuto numerosi premi e riconoscimenti: nel 1973 i Wiener Philharmoniker gli hanno conferito l'Ehrenring e nel 1980 la Medaglia d'Oro Nicolai, sempre a Vienna ha ricevuto la Mozart e la Mahler Medaille e l'Ehrenring der Stadt Wien. In Italia gli è stata conferita la Gran Croce per meriti in campo musicale e la Laurea honoris causa dell'Università di Ferrara, in Francia la Croce della Legion d'Onore, in Germania il Bundesverdienstkreuz I e l'Ernst-von-Siemens-Musikpreis e a Cambridge ha ricevuto la laurea honoris causa.
Il 30 agosto del 2013 viene nominato senatore a vita dal Presidente della Repubblica Giorgio Napolitano.
Da tempo malato, scompare il 20 gennaio 2014 all'età di 80 anni nella sua abitazione di Bologna